◎ 一次関数

「座標平面上の2 点、たとえば、
(4, -1), (3, -6)を通る直線の式を求めなさい」と言われたらどうしますか?直線の式ですから、機械的に、直線の一般式 y=ax+b
に2 点の座標を代入し、連立方程式を解くという方法がありますね。あるいは、最初に、2 点のx座標同士、y座標同士の差を求め、
(yの増加量)÷(xの増加量)の値を割り出し、直線の傾き a を出してしまうのもいいでしょう。この場合は、傾き a=5 となりますから、これを先ほどの一般式に代入して y=5x+b が得られます。あとは、この式に、(4, -1) か (3, -6) のお好きな方を代入してやれば、切片のbが得られて作業完了ですね。では、下記の英語による解法の説明を解読して下さい。


Find the equation of the line through the two given points:
(4,-1), (3,-6)

How do you get to this answer?

For (b) you start by finding the slope of the line. This is a fraction where the numerator is the difference of the y-coordinates, and the denominator is the difference of the x-coordinates. Make sure you take the differences in the same order, like

-1 -(-6)       -1 + 6       5
----------- =-------- = --- = 5
4 - 3            4 - 3        1


The slope is usually written as a, so here
a = 5.

The form of the equation of a line is called the slope-intercept form.

This looks like
y = ax + b where b is the y-intercept, which is the y-value where the line intersects the y-axis. That is, (0,b) is on the line.

What we know so far is that the equation looks like
y = 5x + b.


So, what is b ? You can find that out by considering either of the points to be on the line.

Let's try the first one
(4,-1). Since the combination of x = 4 and y = -1 must be on the line with equation y = 5x+b, it must be true that -1 = 5×4+b. That is,
-1 equals 20+b. The only b satisfying that is b = -21. So the equation is
y = 5x + (-21)
, or simpl,  y = 5x - 21.

1+2+3+・・・+5000=?

少し前に数列に触れましたが、その超基礎にもう一度言及してみたいと思います。なぜなら、これから英語で行う、『1+2+3+・・・+5000=?』の計算方法の説明の中に用いられる言い回しや単語の中には、皆さんの今後の英語の勉強にお役に立つものが少なからずあるだろうと信じるからです。それではなるべく辞書を使わずに読みこなすように頑張ってください。

If you wrote out all the numbers from 1 to 5000

1~5000までの数字を書いたら、その下に逆順で
and then wrote them backwards underneath, you

同じ数字を書いてみて下さい。なんだか余計な
would have twice as many numbers as you

事をしたみたいですね。同じ数が2個ずつありますから
needed, but the problem is easier, here's why:

全部合わせると、求める和の2倍になります。でも

気にすることはありませんよ。なぜなら:

   1      2     3  .............. 4998 4999 5000
5000 4999 4998  ...............3      2      1
----------------------------------------
5001 5001 5001 ............. 5001 5001 5001
Notice that if we add the two lists, we get a list
that is the same number, 5001, repeating. In fact,
since each of the lists is 5000 numbers long, we
have, in the sums, a list of 5000 numbers that are
each 5001. さあ、5001が5000個もできてしまいました。
You have to admit that adding 5000 5001's is a lot
quicker than the other way since
5000 x 5001 = 25,005,000.

でも、これって必要な数の2倍分ですよね。
But wait, you say, that's too much. We were only
supposed to add one list and we added two. Okay,
then the answer must be half as much:
1 + 2 + 3 + ... + 5000 = 25,005,000/2 = 12,502,500
See, you can do the whole thing in your head.
You can use this method if you have any number
of consecutive numbers, whether they start with 1
or not. In fact, the numbers do not have to even be
consecutive. They just have to be in an arithmetic
sequence, that is, the difference between any two
adjacent numbers must always be the same (in your
example the difference was 1).

この調子でやると、この種の足し算はいくらでも

出来ますね。
Let's add up all the odd numbers from 1 to 25.
We do the same thing as before:
1 3 5 ......... 21 23 25
25 23 21 ......... 5 3 1
-----------------------------------

26 26 26 .......... 26 26 26
We have to know how many numbers there
are, and in this case there are 13 twenty-sixes,
so the total must be 13*26/2.
In general if you have an arithmetic sequence
of N numbers and you know the first and last one,
you can find the sum by:
Sum = N(First + Last)/2
Using this for your original set with
N = 5000, first = 1 and last = 5000,
we get the same result 5000(5001)/2.

ψ 因数分解

小学生~中学2年生の方は、「因数分解」なんていう言葉すら知らない人がいるかもしれませんね。逆に、「○△式勉強法なんとかかんとか」みたいな特別な訓練を受けてきた方は、すでに微積分まで分かっている人もいることでしょう。さて、今回はとりあえず、このサイトのヴィジターは、因数分解のイロハが分かっているという前提で、一気に、いくつかの例題を挙げ、それを英語で説明してみます。「○○をくくりだす」とか「式を展開する」とか、日頃、フツ~に学校で使っている言葉が英語にもたくさん出てきますから、参考になさってください。

Example 1:

   x(x+1)(x-4) + 4(x+1)

I see (x+1) in both terms, so I'll begin by factoring it out:

   (x+1)[x(x-4) + 4]

The thing in brackets is a mess, so I'll multiply it out:

   (x+1)[x^2 - 4x + 4]・・・少し前のセクションで説明しましたが、^2は「2乗」の意味です。ですから、^3なら「3乗」ということになります。

But the thing in brackets can now be factored in the usual way:

   (x+1)(x-2)(x-2)

Example 2:

   a(a^2-9)-2(a-3)^2

I notice that a^2-9 is (a+3)(a-3), which is nice because there's an
(a-3) in the other term:

   a(a+3)(a-3) - 2(a-3)^2

   = (a-3)[a(a+3) - 2(a-3)]

Now multiply out the junk in the brackets:

   = (a-3)[a^2 + 3a - 2a + 6]

   = (a-3)[a^2 + a + 6]

The thing in brackets can't be factored, so you're done.

Example 3:

   x^4 - x^2 + 4x - 4

I notice that if I let x = 1, this is zero, so I know that (x-1)
is a factor:

   x^2(x^2 - 1) + 4(x-1)

   = x^2(x+1)(x-1) + 4(x-1)

   = (x-1)[x^2(x+1) + 4]

   = (x-1)[x^3 + x^2 + 4]

Notice that if I put x=-2 in the expression in brackets, it will be
zero, so x+2 is a factor:

   = (x-1)(x+2)(x^2 -x + 2)

And that's as far as it goes.

Example 4:

   t^4 - 10t^2 + 9

Suppose u = t^2.  Then this looks like u^2 - 10u + 9.  Could
you factor that?  Of course:

   = (u - 9)(u - 1)

But u = t^2, so it's really:

   = (t^2 - 9)(t^2 - 1)

And both terms factor:

   = (t+3)(t-3)(t+1)(t-1)

Notice I've used a bunch of different tricks.  You should get familiar
with them.  There's more than one way to solve an algebra problem!

以上は中学水準の因数分解ですが、この程度のものでも、実は答えにたどりつくまでの道筋は複数個ある場合がほとんどです。数学の力を本当につけるには、答えを見つけて安心せずに、常に「別解はないか?」と考えてみることです。数学に限らず、何でも、いろいろな角度から物事を観察できるようになると、自分の世界がドンドン広がりますよ。「世界が広がるとは何ぞや?」という問題もありますが、答えを見つけるには、まずは、意識的に物事をいろいろな視点から観察するという経験を自分にさせることが必要です。そうすれば、いずれは、将来の自分自身に「世界が広がる」の意味を身をもって教えることになるでしょう。グッドラックです!!!

ψ おそうじ…じゃなくて、相似!!

形は全く同じで大きさだけが違う図形どおしは「相似」の関係にあります…知ってますよね?例えば、う~ん、そうですね~、家がプリントしてあるスライドをプロジェクターにかけたら、スクリーンにその家がドデカく映りますよね。そうすると、そのチッコイ家とドデカイ家は、形も色も味も…み~んな同じです、なわけないか?(゚ー゚; とにかく、その二つの家は幾何学的にいうと「相似」と言えます。複数の相似な図形においては、対応する角はみ~んな同じです。違っていたら、相似になりませんよねbud

ところで、「対応する辺とか角」とか、はたまた、「相似」って、英語でなんて言うんでしょう?それと、掃除は cleaning ですむけど、「相似」を説明しようとしたら何と言えばいいんでしょう?が~ん。相似を言葉で置き換えるだけならだれでもできます。でも、説明となると・・・むむむ・・・皆さんならどうしますか?

gemini ボクバージョン・・・Two polygons are similar if they have exactly the same shape, but different sizes.  Each angle in the little polygon will be equal to a correspoinding angle in the big polygon.  If the one side on the little polygon is hafl as big as its correspoing side on the big polygon, then all the sides on the little polygon will be half as big as the corresponding sides on the big polygon.scissorscherryhappy01

△ 三角形…英語でどう説明する?

△…?3辺からなる多角形、かな?隣り合う辺が交わるところが頂点だからっと…頂点は3つあるか。ふむふむconfident。あと、皆さんなら、△の性質をどんな風に説明しますか?別に教科書通りじゃなくてもいいですよ。教科書に書いてあることを丸暗記して言ってみたところで、何ほどのこともありませんangry

例えば、△というのは頑丈なpunch形をしていますねぇ…なんていう説明はどうですか。ん?意味がわかんな~い、ですって。たとえば、3辺のうち、それぞれ隣り合う2辺を蝶番(ちょうつがい)でつないでみましょう。どうですか。蝶番でつないだ3辺からなる閉じた平面図形である△を変形することができますか?ビクともしませんよねscissors

平行四辺形や他の多角形、例えば、5角形とか6角形についてはどうですか?これらは形が変わりますよね。この意味で△は頑丈なんです。ですから、家や橋などの構造物を建てる時は、その骨組みに△の形ができるように、骨(材木や鉄筋)を組むんです。なんだか、いかにも、素人っぽい説明でいいでしょcoldsweats01?とにかく、△は○と同様、この世の中にある無数の形の中で、特に重要な形なのですclub

では、この辺のところをち~っとだけ、エイゴで語ってみたいと思います。簡単すぎて、な~んだ、とガッカリbearingしないでくださいね。

A triangle is a three-sided polygon.  The three points where the sides intersect are called vertices.  Triangles are important for various reasons.  One of them is that they are rigid.  If  you imagine the three sides of a triangle as joined by hinges, you could not bend the triangle out of shape.  However, you could easily bend a quadrilateral or any other polygon out of shape if its vertices were formed with hinges.  Triangle-shaped supports are often used in bridge construction.

連立方程式の文章題[食塩濃度]

2になると連立方程式を習います。中学受験を目指している小学生の中には「もう知ってるもんね!happy01」という方ともいるでしょう。連立方程式の超オーソドックスな応用題に「食塩濃度」の問題scissorsがあります。たとえば、『濃度が15%の食塩水と濃度が30%の食塩水を混ぜたら濃度が22%の食塩水が600gできました。さて、15%と30%の食塩水はそれぞれ何グラム混ぜたでしょう』というような、例のあの問題です。それではその解法を以下に英語で説明してみます。


A group of chemists are conducting an experiment to produce a new 食塩水. One 食塩水 contains 15% 食塩 and the other one 30% 食塩. Once they mix the two samples the resulting 食塩水 contains 22% 食塩. How many grams of each sample must be mixed to obtain 600 grams of the new 食塩水?

Instead of jumping in with calculations, let's see if we can just make sense of the problem in a way that will lead us to a solution. Since the first 食塩水 is 15% 食塩, it means that if we have some amount, A, of the 食塩水, we can determine the amount of 食塩 it contains by taking 15% of that. Does that make sense?

amount of 食塩from first 食塩水= 0.15*A

* は「かける」のことデス)

For example, if we have 100 grams of the 食塩水, then 15 grams of it will be 食塩, and 85 grams will be .

Similarly, if B is the amount of the second 食塩水,

amount of 食塩 from second 食塩水 = 0.30*B

Now, if we combine the two 食塩水to get a new 食塩水, which is 22% 食塩, then the total amount of combined 食塩 is

amount of 食塩 from both 食塩水 = 0.22*(A+B)

So we can use that to set up an equation:


 
食塩from        食塩from         食塩from

first 食塩水 +  second 食塩水 =  both 食塩水

  0.15*A      +   0.30*B      =  0.22*(A+B)


Now, this is kind of a problem, since we have
two variables but only one equation. But in fact, we _have_ a second equation, because we

know that


A + B = 600


So now you have two equations, and you can use
substitution or elimination to find the values of the variables.

この先の計算はご自分でやって下さい。

∬ 素数

中高生はもちろんのこと、小学生ですでに「素数」について習っている方もいることと思います。以前にも述べましたが、あらかじめ内容が分かっていることを、母国語以外で確認するというのは、外国語を学ぶ上で大変有効な手段です。下の日英の説明を読み比べながら、英語の言い回しを研究すると面白いかもしれませんよ。

A prime number can be divided, without a remainder, only by itself and by 1. For example, 17 can be divided only by 17 and by 1. ですから、17は素数ですね。

Some facts:

  • 偶数でありながら素数であるものは2しかありませんね。
  • The only even prime number is 2. All other even numbers can be divided by 2.
  • 何ケタかの数字で、その各位の数字の和が3の倍数ならば、その数字は3の倍数になります。
  • If the sum of a number's digits is a multiple of 3, that number can be divided by 3.
  • 当たり前といえば当たり前なんですけど、 5より大きい素数で1の位が5で終わる数はありませんね。
  • No prime number greater than 5 ends in a 5. Any number greater than 5 that ends in a 5 can be divided by 5.
  • 0と1は素数には入りません。
  • Zero and 1 are not considered prime numbers.
  • 0と1を除けば、数は素数と合成数に分けられます。合成数というのは1より大きい素数ではない数ですね。
  • Except for 0 and 1, a number is either a prime number or a composite number. A composite number is defined as any number, greater than 1, that is not prime.

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場所: ご自宅か本町3丁目のQ-Fiveにて

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√ 平方と平方根

「3の平方」は3×3で9scissorsちなみに、「-3の平方」も(-3)×(-3)で9となりますよね。それでは「±5の平方」はいくらでしょう。そう、(±5)×(±5)ですから25ですね。逆に、「9の平方根は?」と言われたら、「±3」と答えます。「9の平方根」を数学の言葉を使って言い換えると「プラスマイナス・ルート9」と言うこともできます。でも、普通は「プラスマイナス・ルート9」は「±3」と言っちゃった方が早いし分かりやすいですよねhappy01「25の平方根」はいくつですか?要するに、「何を2度かけたら25になるか?」ですから、答えは「±5」となりますね。 それでは、「5の平方根」はいくらでしょう?う~ん(-_-;)たら~。「二度同じ数字をかけて5になるもの・・・」。2でもないし、3でもない・・・。「たぶん2と3の間だろう・・・」という予想はつきますよね。きちんとした値を求めたい場合には、すこし面倒ですが筆算でも求められます。てっとり早いのが好きな方は電卓を使うか「平方根表」なるものを調べればすぐに分かります。しかし、とりあえず「5の平方根」ということだけが分かっていればよい場合は、「±ルート5」と言って、答えを分かったような気になりましょうbleah「え~っ、ほんと~?」とお思いの方。気になさらないでください!みんなで思えばこわくありませんsun 以下に「平方と平方根」に関して簡単な英語の説明を掲げてみます。解読できますか~?辞書は使わずに内容をつかむように心がけましょう。

What is 3 squared? We write down "3 Squared" as 3^2, (the "^2" means the number appears twice in multiplying [注:「3の2乗」という場合、普通は3の右肩に小さく2を書きますがcherryここではそのような表記ができないためhappy02右肩の「2乗」の部分を「^2」と表しています。学校などで実際に書く場合は「右肩に小さい2」の方式で書いて下さいcake]); thus, for example:

4 Squared = 4^2 = 4 × 4 = 16 chick

5 Squared = 5^2 = 5 × 5 = 25 snail

6 Squared = 6^2 = 6 × 6 = 36 cancer

A square root goes the other direction:

3 squared is 9, so the square root of 9 is 3.

So, the square root of a number is that special value that, when multiplied by itself, gives the number.

Note: It is called a "root" because it is like the root of a treexmasYou can see the tree, but what is the root that produced it?

Example: What is the square root of 25? Well, we just happen to know that 25 = 5 × 5, so, if you multiply 5 by itself (5 × 5) you get 25. So the answer is 5 (Note: there is another solution! -5 × -5 = 25, so the square root of 25 is also -5. Test this idea yourself on another square root.)

Squarerootsymbol_1 The Square Root Symbol This is the special symbol that means "square root", it is sort of like a tick, and actually started hundreds of years ago as a dot with a flick upwards. It is called the radical, and always makes math look important! noodle(←ちょっと意味不明)You can use it like this: (you would say "the square root of 9 equals 3") Perfect Squares The perfect squares are the squares of the whole numbers: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 etc Perfect Squares: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ... It is easy to work out the square root of a perfect square, but it is really hard to work out other square roots. Example: what is the square root of 10? Well, 3 × 3 = 9 and 4 × 4 = 16, so we could guess that the answer is between 3 and 4. Let's try 3.5: 3.5 × 3.5 = 12.25 Let's try 3.2: 3.2 × 3.2 = 10.24 Let's try 3.1: 3.1 × 3.1 = 9.61 At this point, I get out my calculator and it says: 3.1622776601683793319988935444327 ... and the digits just go on and on, without any pattern…循環しないんですよね~club So even the calculator's answer is only an approximation !

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