« 2009年11月 | トップページ

2009年12月

◎ 一次関数

「座標平面上の2 点、たとえば、
(4, -1), (3, -6)を通る直線の式を求めなさい」と言われたらどうしますか?直線の式ですから、機械的に、直線の一般式 y=ax+b
に2 点の座標を代入し、連立方程式を解くという方法がありますね。あるいは、最初に、2 点のx座標同士、y座標同士の差を求め、
(yの増加量)÷(xの増加量)の値を割り出し、直線の傾き a を出してしまうのもいいでしょう。この場合は、傾き a=5 となりますから、これを先ほどの一般式に代入して y=5x+b が得られます。あとは、この式に、(4, -1) か (3, -6) のお好きな方を代入してやれば、切片のbが得られて作業完了ですね。では、下記の英語による解法の説明を解読して下さい。


Find the equation of the line through the two given points:
(4,-1), (3,-6)

How do you get to this answer?

For (b) you start by finding the slope of the line. This is a fraction where the numerator is the difference of the y-coordinates, and the denominator is the difference of the x-coordinates. Make sure you take the differences in the same order, like

-1 -(-6)       -1 + 6       5
----------- =-------- = --- = 5
4 - 3            4 - 3        1


The slope is usually written as a, so here
a = 5.

The form of the equation of a line is called the slope-intercept form.

This looks like
y = ax + b where b is the y-intercept, which is the y-value where the line intersects the y-axis. That is, (0,b) is on the line.

What we know so far is that the equation looks like
y = 5x + b.


So, what is b ? You can find that out by considering either of the points to be on the line.

Let's try the first one
(4,-1). Since the combination of x = 4 and y = -1 must be on the line with equation y = 5x+b, it must be true that -1 = 5×4+b. That is,
-1 equals 20+b. The only b satisfying that is b = -21. So the equation is
y = 5x + (-21)
, or simpl,  y = 5x - 21.

1+2+3+・・・+5000=?

少し前に数列に触れましたが、その超基礎にもう一度言及してみたいと思います。なぜなら、これから英語で行う、『1+2+3+・・・+5000=?』の計算方法の説明の中に用いられる言い回しや単語の中には、皆さんの今後の英語の勉強にお役に立つものが少なからずあるだろうと信じるからです。それではなるべく辞書を使わずに読みこなすように頑張ってください。

If you wrote out all the numbers from 1 to 5000

1~5000までの数字を書いたら、その下に逆順で
and then wrote them backwards underneath, you

同じ数字を書いてみて下さい。なんだか余計な
would have twice as many numbers as you

事をしたみたいですね。同じ数が2個ずつありますから
needed, but the problem is easier, here's why:

全部合わせると、求める和の2倍になります。でも

気にすることはありませんよ。なぜなら:

   1      2     3  .............. 4998 4999 5000
5000 4999 4998  ...............3      2      1
----------------------------------------
5001 5001 5001 ............. 5001 5001 5001
Notice that if we add the two lists, we get a list
that is the same number, 5001, repeating. In fact,
since each of the lists is 5000 numbers long, we
have, in the sums, a list of 5000 numbers that are
each 5001. さあ、5001が5000個もできてしまいました。
You have to admit that adding 5000 5001's is a lot
quicker than the other way since
5000 x 5001 = 25,005,000.

でも、これって必要な数の2倍分ですよね。
But wait, you say, that's too much. We were only
supposed to add one list and we added two. Okay,
then the answer must be half as much:
1 + 2 + 3 + ... + 5000 = 25,005,000/2 = 12,502,500
See, you can do the whole thing in your head.
You can use this method if you have any number
of consecutive numbers, whether they start with 1
or not. In fact, the numbers do not have to even be
consecutive. They just have to be in an arithmetic
sequence, that is, the difference between any two
adjacent numbers must always be the same (in your
example the difference was 1).

この調子でやると、この種の足し算はいくらでも

出来ますね。
Let's add up all the odd numbers from 1 to 25.
We do the same thing as before:
1 3 5 ......... 21 23 25
25 23 21 ......... 5 3 1
-----------------------------------

26 26 26 .......... 26 26 26
We have to know how many numbers there
are, and in this case there are 13 twenty-sixes,
so the total must be 13*26/2.
In general if you have an arithmetic sequence
of N numbers and you know the first and last one,
you can find the sum by:
Sum = N(First + Last)/2
Using this for your original set with
N = 5000, first = 1 and last = 5000,
we get the same result 5000(5001)/2.

ψ 因数分解

小学生~中学2年生の方は、「因数分解」なんていう言葉すら知らない人がいるかもしれませんね。逆に、「○△式勉強法なんとかかんとか」みたいな特別な訓練を受けてきた方は、すでに微積分まで分かっている人もいることでしょう。さて、今回はとりあえず、このサイトのヴィジターは、因数分解のイロハが分かっているという前提で、一気に、いくつかの例題を挙げ、それを英語で説明してみます。「○○をくくりだす」とか「式を展開する」とか、日頃、フツ~に学校で使っている言葉が英語にもたくさん出てきますから、参考になさってください。

Example 1:

   x(x+1)(x-4) + 4(x+1)

I see (x+1) in both terms, so I'll begin by factoring it out:

   (x+1)[x(x-4) + 4]

The thing in brackets is a mess, so I'll multiply it out:

   (x+1)[x^2 - 4x + 4]・・・少し前のセクションで説明しましたが、^2は「2乗」の意味です。ですから、^3なら「3乗」ということになります。

But the thing in brackets can now be factored in the usual way:

   (x+1)(x-2)(x-2)

Example 2:

   a(a^2-9)-2(a-3)^2

I notice that a^2-9 is (a+3)(a-3), which is nice because there's an
(a-3) in the other term:

   a(a+3)(a-3) - 2(a-3)^2

   = (a-3)[a(a+3) - 2(a-3)]

Now multiply out the junk in the brackets:

   = (a-3)[a^2 + 3a - 2a + 6]

   = (a-3)[a^2 + a + 6]

The thing in brackets can't be factored, so you're done.

Example 3:

   x^4 - x^2 + 4x - 4

I notice that if I let x = 1, this is zero, so I know that (x-1)
is a factor:

   x^2(x^2 - 1) + 4(x-1)

   = x^2(x+1)(x-1) + 4(x-1)

   = (x-1)[x^2(x+1) + 4]

   = (x-1)[x^3 + x^2 + 4]

Notice that if I put x=-2 in the expression in brackets, it will be
zero, so x+2 is a factor:

   = (x-1)(x+2)(x^2 -x + 2)

And that's as far as it goes.

Example 4:

   t^4 - 10t^2 + 9

Suppose u = t^2.  Then this looks like u^2 - 10u + 9.  Could
you factor that?  Of course:

   = (u - 9)(u - 1)

But u = t^2, so it's really:

   = (t^2 - 9)(t^2 - 1)

And both terms factor:

   = (t+3)(t-3)(t+1)(t-1)

Notice I've used a bunch of different tricks.  You should get familiar
with them.  There's more than one way to solve an algebra problem!

以上は中学水準の因数分解ですが、この程度のものでも、実は答えにたどりつくまでの道筋は複数個ある場合がほとんどです。数学の力を本当につけるには、答えを見つけて安心せずに、常に「別解はないか?」と考えてみることです。数学に限らず、何でも、いろいろな角度から物事を観察できるようになると、自分の世界がドンドン広がりますよ。「世界が広がるとは何ぞや?」という問題もありますが、答えを見つけるには、まずは、意識的に物事をいろいろな視点から観察するという経験を自分にさせることが必要です。そうすれば、いずれは、将来の自分自身に「世界が広がる」の意味を身をもって教えることになるでしょう。グッドラックです!!!

ψ おそうじ…じゃなくて、相似!!

形は全く同じで大きさだけが違う図形どおしは「相似」の関係にあります…知ってますよね?例えば、う~ん、そうですね~、家がプリントしてあるスライドをプロジェクターにかけたら、スクリーンにその家がドデカく映りますよね。そうすると、そのチッコイ家とドデカイ家は、形も色も味も…み~んな同じです、なわけないか?(゚ー゚; とにかく、その二つの家は幾何学的にいうと「相似」と言えます。複数の相似な図形においては、対応する角はみ~んな同じです。違っていたら、相似になりませんよねbud

ところで、「対応する辺とか角」とか、はたまた、「相似」って、英語でなんて言うんでしょう?それと、掃除は cleaning ですむけど、「相似」を説明しようとしたら何と言えばいいんでしょう?が~ん。相似を言葉で置き換えるだけならだれでもできます。でも、説明となると・・・むむむ・・・皆さんならどうしますか?

gemini ボクバージョン・・・Two polygons are similar if they have exactly the same shape, but different sizes.  Each angle in the little polygon will be equal to a correspoinding angle in the big polygon.  If the one side on the little polygon is hafl as big as its correspoing side on the big polygon, then all the sides on the little polygon will be half as big as the corresponding sides on the big polygon.scissorscherryhappy01

« 2009年11月 | トップページ